Aquest 2026 es commemora el centenari de la mort d’Antoni Gaudí, l’arquitecte de la basílica de la Sagrada Família. La bellesa d’aquest temple, ja de per si extraordinària, esdevé encara més profunda quan s’hi descobreixen les idees matemàtiques que s’amaguen rere les formes.

És com si l’harmonia visual del conjunt adquirís encara una nova dimensió quan es contemplen els principis matemàtics que en fonamenten l’estructura i que hi aporten funcionalitat, equilibri i coherència.

Sens dubte, la persona que ha estudiat més profundament la matemàtica de la Sagrada Família ha estat Claudi Alsina i Català, que va cursar els seus estudis inicials en matemàtiques a la Universitat de Barcelona i que va dirigir la tesi doctoral de l’actual arquitecte director de les obres del temple, Jordi Faulí.

A les memòries, Claudi Alsina afirma:

“Tothom s’havia preguntat si en el projecte del temple de la Sagrada Família hi havia un mòdul i un sistema de proporcions que guiés totes les relacions mètriques de l’obra. […] Un dissabte a la tarda, assegut davant la tauleta del meu despatx a casa, amb tot de dades i documents sobre aquest misteriós sistema proporcional, si és que hi era…, el vaig descobrir. El mòdul de 7,5 metres i les relacions entre els divisors de 12 (1:4, 1:3, 1:2, 3:4, 2:3, 1) semblaven explicar moltes coses.”

El número 12, protagonista

No resulta sorprenent que el número 12 tingui un protagonisme destacat en l’estructura del temple. Gaudí concebia la Sagrada Família com una síntesi d’arquitectura i simbolisme religiós i el 12 és un número amb una forta presència bíblica: els dotze fills de Jacob, les dotze tribus d’Israel, els dotze apòstols o la corona de dotze estels de l’Apocalipsi en són només alguns exemples.

Però el seu interès no és sols simbòlic. D’un punt de vista matemàtic, el 12 és un número especialment adequat per a establir proporcions, perquè té molts divisors. Precisament, les relacions entre aquests divisors són les que, segons Claudi Alsina, expliquen bona part del sistema proporcional de la basílica.

Amb aquests antecedents simbòlics i matemàtics, no hauria de resultar estranya la vinculació entre elements estructurals del temple i el número 12.

El mòdul de 7,5 metres

A partir de les paraules de Claudi Alsina us convidem a fer una petita visita amb mirada matemàtica a la Sagrada Família:

Les dimensions del temple estan vinculades al número 12 i al mòdul de 7,5 m. La llargada és de 90 m (7,5 x 12), l’amplada és de 60 metres (7,5 x 8) i l’amplada de la nau principal és de 45 m (7,5 x 6).

Quant a les alçàries, la volta més alta és la de l’absis, de 75 m (7,5 x 10), seguida per la volta del creuer, de 60 m (7,5 x 8); la volta de la nau central, de 45 metres (7,5 x 6); la de la nau lateral, de 30 metres (7,5 x 4), i la del cor, de 15 metres (7,5 x 2).

En harmonia amb l’altura de la muntanya de Montjuïc

La torre de Jesús és la torre central del temple i la més alta, amb 172,5 m (7,5 x 23), en harmonia amb l’altura de la muntanya de Montjuïc. És coronada per una creu de quatre braços que fa 17 metres d’altura per 13,5 m d’amplada. Entorn d’aquesta torre hi ha les quatre torres dels Evangelistes, que assoleixen una altura de 135 m (7,5 x 18).

La torre de Maria, que mesura 138 m, és la segona més alta de la basílica. És coronada per un estel de 12 puntes, que es recolza sobre tres braços de suport. Aquest estel té un diàmetre de 7,5 m i es forma a partir d’un dodecàedre regular sobre cadascuna de les cares del qual s’aixequen puntes en forma de piràmide pentagonal. Els reflexos de la llum del dia i la il·luminació interior nocturna confereixen a aquest estel una bellesa singular.

Els políedres de les torres

Els políedres també són molt presents a les torres de la Sagrada Família. Les quatre torres de la façana de la Glòria culminen amb dodecàedres, les quatre torres de la façana del Naixement culminen amb octàedres irregulars truncats i les quatre torres de la façana de la Passió culminen amb cubs truncats.

A les dotze torres, sobre aquests políedres, s’aixeca un pinacle. Les torres dedicades als Evangelistes culminen amb icosàedres regulars que contenen focus que il·luminen la gran creu que presideix la torre de Jesús. Just damunt de cada icosaedre hi ha una escultura amb la representació simbòlica de l’evangelista. Són nombrosos els políedres estrellats que hi ha al temple, sobretot a la façana del Naixement.

No són columnes, és un bosc!

Per una altra banda, els arcs catenaris són presents al temple com a elements estructurals principals perquè és una forma molt eficient de transmetre les càrregues a terra sense necessitat de més elements de suport. Són integrats al sistema de columnes inclinades que sostenen les voltes de les naus interiors, a les mateixes voltes i cobertes i a la façana del Naixement.

Es poden trobar quatre tipus de columnes a la Sagrada Família. Totes aquestes columnes s’anomenen de doble torsió helicoïdal, tenen la base en forma de polígon estrellat arrodonit i es generen com la intersecció de dues columnes salomòniques que giren en sentit oposat. A sobre de cadascuna hi ha un nus d’on surten branques semblants a les d’un arbre que sostenen de manera molt eficient les torres i la coberta del temple.

També les lluernes del sostre són hiperboloides reglats d’una fulla. El fet que siguin formades per rectes ofereix facilitat constructiva i optimitza la captació i la projecció de la llum.

El simbolisme de dos números: 7 i 33

Uns altres números amagats al temple són profundament simbòlics. Per exemple, el baldaquí de l’altar major, que és un heptàgon regular de 5 m de diàmetre, els set costats del qual simbolitzen els set dons de l’Esperit Sant.

A la façana de la passió hi ha un quadrat numèric on totes les files, columnes i diagonals sumen 33, amb connotacions religioses evidents.

Sembla que s’inspira en el quadrat màgic que apareix al quadre Melanconia, d’Albrecht Dürer.

La percepció de la matemàtica que hi ha al darrere del temple de la Sagrada Família encara el fa més bell i desperta més admiració pel geni d’Antoni Gaudí.

Aquest article té un tercer autor, el professor jubilat de didàctica de les matemàtiques a la Facultat de Matemàtiques i Informàtica de la UB Anton Aubanell Pou.

Aquest article va ser publicat originalment a The Conversation.